Разложение многочленов на множители

Разложение на множители: вынесение общего множителя, формулы сокращенного умножения, способ группировки (7 класс)

Формулы сокращенного умножения

a² – b² = (a - b)(a + b)
a³ – b³ = (a - b)( a² + ab + b²)
a³ + b³ = (a + b)( a² - ab + b²)

Примеры применения формул сокращенного умножения для разложения на множители:

1)   a⁴ – 16 = (a² – 4)(a² + 4) = (a – 2)(a + 2)(a² + 4).

2)   c⁶ – 1 = (с³ – 1) (с³ + 1) = (с – 1)(с² + с + 1)(с + 1)( с² – с + 1).

3)   a⁸ – 1 = (a⁴ – 1)(a⁴ + 1) = (a² – 1)(a² + 1) (a⁴ + 1) = (a – 1)(a + 1)(a² + 1) (a⁴ + 1).

Пример комбинации вынесения общего множителя и группировки слагаемых:

Пример 1. Разложение многочлена на множители 10ay – bx + 2ax – 5by.
10ay – bx + 2ax – 5by = (10ay – 5by) + (2ax – bx) = 5y(2a – b) + x(2a – b) = (2a – b)(5y + x).

Пример 2. Разложение многочлена на множители 16ab² - 10c³ + 32ac² - 5b²c
16ab² - 10c³ + 32ac² - 5b²c = (16ab² + 32ac²) – (5b²c + 10c³) = 16a(b² + 2c²) – 5c(b² + 2c²) = (b² +2c²)(16a – 5c).

Примеры комбинаций вынесения общего множителя, группировки слагаемых и формул сокращенного умножения для разложения многочленов на множители.

1) y³ + 16 – 4y – 4y² = (y³ – 4y) + (16 - 4y²) = (y³ – 4y) – (4y² – 16) = y(y² – 4) – 4(y² – 4) =
= (y² – 4)(y - 4) = (y – 2)(y + 2)(y - 4).

2) (a – b)³ – a + b = (a – b)³ – (a – b) = (a – b)(( a – b)² – 1) = (a – b)(a² – 2ab + b² - 1).

3) x² – 6xy – 49 + 9y² = (x² – 6xy + 9y²) – 49 = (x – 3y)² – 49 = (x – 3y – 7) (x – 3y +7).

4) c² + 2c – d² – 2d = (c² – d²) + (2c – 2d) = (c – d)(c + d) + 2(c – d) = (c – d)( c + d + 2).

Примеры нестандартных разложений многочленов на множители.

Одно или несколько слагаемых представляется в виде суммы или разности, после чего можно применять группировку или формулы сокращенного умножения.

Пример 1. Разложение многочлена на множители y² – 14y + 40.
y² – 14y + 40 = y² – 14y + 49 – 9 = (y² – 14y + 49) – 9 = (y – 7)² – 32 = (y – 7 – 3)(y – 7 + 3) = (y – 10)(y – 4).

Пример 2. Разложение многочлена на множители x² + 7x + 12.
x² + 7x + 12 = x² + 3x + 4x + 12 = (x² + 3x) + (4x + 12) = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4).

Пример 3. Разложение многочлена на множители x² + 8x +7.
x² + 8x +7 = x² + 7x + x + 7 = (x² + 7x) + (x + 7) = x(x + 7) + (x + 7) = (x + 7)(x + 1).

Пример 4. Разложение многочлена x² + x – 12 на множители.
x² + x – 12 = x² + 4x – 3x – 12 = (x² + 4x) – (3x +12) = x(x + 4) – 3(x + 4) = (x + 4)(x – 3).

Пример 5. Разложение многочлена на множители x² - 10x + 24.
x² - 10x + 24 = x² -2*5 x + 25 – 1 = (x² - 2*5 x + 25) – 1 = (x – 5)² – 1 = (x – 5 – 1)(x – 5 + 1) = (x – 6)(x – 4).

Пример 6. Разложение многочлена на множители x² - 13x + 40.
x² - 13x + 40 = x² - 10x – 3x + 25 + 15 = (x² - 10x + 25) – (3x – 15) = (x – 5)² – 3(x – 5) =
= (x – 5)(x – 5 – 3) = (x – 5)(x – 8).

Пример 7. Разложим на множители многочлен x² + 15x + 54.
x² + 15x + 54 = x² + (12x + 3x) + (36 + 18) = (x² + 12x + 36) + (3x + 18) = (x + 6)² + 3(x + 6) =
= (x + 6)(x + 6 + 3) = (x + 6 )(x + 9).

Пример 8. Разложение многочлена x⁴ + 3x² + 4 на множители.
x⁴ + 3x² + 4 = x⁴ + (4x² – x²) + 4 = (x⁴ + 4x² + 4) – x² = (x² + 2)² – x² = (x² + 2 – x)( x² + 2 + x) =
= (x² – x + 2)( x² + x + 2).

Пример 9. Разложение многочлена на множители x⁴ + x² + 1.
x⁴ + x² + 1 = x⁴ + (2x² – x²) + 1 = (x⁴ + 2x² + 1) – x² = (x² + 1)² – x² = (x² + 1 – x)( x² + 1 + x) =
= (x² – x + 1)( x² + x + 1).

Пример 10. Разложение многочлен x⁴ + 4 на множители. Данный многочлен представляет интересный пример выражения, когда на первый взгляд кажется, что его разложить на множители невозможно. Прибавим к нему 4x² и вычтем 4x², чтобы значение выражения не изменилось.

x⁴ + 4 = x⁴ + 4 + 4x² – 4x² = (x⁴ + 4x² + 4) – 4x² = (x² + 2)² – 4x² = (x² + 2 – 2x)( x² + 2 + 2x) =
= (x² – 2x + 2)( x² + 2x + 2).