Деление многочлена на двучлен по схеме Горнера

Рассмотрим частный случай деления многочленов – деление многочлена на двучлен вида x - b0. Алгоритм деления для этого случая называется схемой Горнера или методом сокращенного деления многочлена на двучлен.
Пусть требуется поделить многочлен

a(x)= an*xn + an-1*xn-1 + an-2*xn-2 + ... + a1*x + a0

на двучлен b(x)= x - b0, то есть требуется представить многочлен a(x) в виде

a(x)=b(x)*c(x) + r(x), где степень частного c(x) равна n-1, а степень остатка r(x) равна 0. Пусть

c(x)= cn-1*xn-1 + cn-2*xn-2 +  ... + c1*x + c0,

r(x)=r0.

То есть a(x) = (x - b0)*(cn-1*xn-1 + cn-2*xn-2 +  ... + c1*x + c0) + r0.

Перемножим x - b0 и c(x), сложим с r0 и приравняем коэффициенты многочленов при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства. Получим рекуррентные формулы для определения значений ci и остатка r0.

cn-1=a0,

cn-2=a1 + cn-1*b0,

...

c1=an-2 + c2*b0,

c0=an-1 + c1*b0,

r0=an + c0*b0. Для удобства вычислений по этим формулам создается таблица, заполняемая слева направо.

В первой строке записываются коэффициенты делимого в порядке убывания степеней x и число b0.

Во второй строке - соответствующие значения выражений сi*b0 (первое число 0, так как cn=0).

Числа в первой строке складываются с числами во второй и записываются в третью строку. В результате в третьей строке мы получаем коэффициенты частного, а последнее число – это остаток.

Деление многочленов по схеме Горнера

Заполняют эту таблицу в таком порядке:

Сначала заполняют первую строку. Под первым числом первой строки пишем 0.

Складываем числа в первом столбце, и результат будет первым числом третьей строки.

Затем первое число третьей строки cn-1 умножаем на последнее число первой строки b0, результат записываем на второе место второй строки.

Складываем числа второго столбца и получаем второе число третьей строки cn-2.

Это число опять умножаем на последнее число первой строки b0, результат записываем на третье место во второй строке.

Складываем числа третьего столбца, и получаем третье число третьей строки и т.д.

Хотя объяснение выглядит довольно громоздким, но выполнять деление с помощью схемы Горнера очень просто и удобно. Рассмотрим применение схемы Горнера на примерах.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Пример 1. Разделить многочлен x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6 на двучлен x-3 используя схему Горнера.

Решение.

Делимое a(x)=x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6, b0=3. В соответствии со схемой Горнера заполняем таблицу

Деление многочленов по схеме Горнера - пример

Таким образом, остаток r (это последнее число в третьей строке) равен нулю. Значит, многочлен x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6 разделился на x - 3 нацело. Частное с(x)=1*x3 + 0*x2 - 3x - 2.

Ответ: x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6=(x3 - 3x - 2)*(x - 3).

Пример 2. Разделить многочлен 2x5 + 5x4 - 4x3 + 612 на двучлен x + 4 используя схему Горнера.

Решение.

Делимое a(x)= 2x5 + 5x4 - 4x3 + 612, b0=-4. В соответствии со схемой Горнера заполняем таблицу

Деление многочленов по схеме Горнера - пример

Остаток r = 100 - это последнее число в третьей строке. Частное с(x)=2*x4 - 3*x3 - 8*x2 - 32*x + 128.

Ответ: 2x5 + 5x4 - 4x3 + 612 = (2x4 - 3x3 - 8x2 - 32x + 128)*(x + 4) + 100.

Деление многочлена a(x) на двучлен вида b1 x - b0 легко сводится к случаю деления на x - b0.

Пусть a(x) = (b1x - b0)* c(x) + r0, можно преобразовать это выражение

Деление многочлена на двучлен

Анализ последнего выражения показывает, что остаток от деления a(x) на b1x - b0 тот же самый, что и остаток от деления a(x) на x - b0/b1, а коэффициенты частного c(x) получаются из коэффициентов частного от деления на x - b0/b1 делением их на b1.

Пример 3. Разделить многочлен x3 - 6x2 + 5x + 2 на двучлен 2x + 1 используя схему Горнера.

Решение.

Так как 2x + 1=2(x + 1/2), с помощью схемы Горнера будем делить исходный многочлен на x + 1/2, затем полученные коэффициенты частного разделим на 2.

Деление многочленов на двучлены

Остаток r0 = -17/8. Коэффициенты частного получим, разделив коэффициенты в третьей строке таблицы на 2. Таким образом, частное от деления исходного многочлена на 2x + 1

частное от деление многочлена на двучлен

Ответ:
деление многочлена на двучлен

Пример 4. Разделить многочлен x5 - x3 + 2x - 1 на двучлен 3 - 2x.

Решение.

Так как 3 - 2x = - 2(x - 3/2), с помощью схемы Горнера будем делить исходный многочлен на x - 3/2, затем полученные коэффициенты частного разделим на -2.

Разделить многочлен на двучлен

Остаток r0 = 199/32. Коэффициенты частного получим, разделив коэффициенты в третьей строке таблицы на -2. Таким образом, частное от деления исходного многочлена на 3 - 2x

частное от деление многочлена на двучлен

Ответ:
деление многочлена на двучлен

Использование схемы Горнера для разложения многочлена по степеням двучлена


Рассмотрим еще одно применение схемы Горнера – разложение многочлена по степеням двучлена. Для любого многочлена деление многочлена на двучлен

где деление многочлена на двучлен и для любого числа b0 можно написать разложение a(x) по степеням x - b0:

деление многочлена на двучлен

Как видно из этой формулы, чтобы вычислить p0, необходимо разделить многочлен a(x) на x - b0 и найти остаток r = p0 . В частном мы получим многочлен

деление многочлена на двучлен

Теперь, чтобы вычислить p1, необходимо разделить многочлен d1 (x) на x - b0 и найти остаток r=p1. В частном получим многочлен деление многочлена на двучлен

Далее продолжаем деление до тех пор, пока в частном не получится число. Полученный на последнем шаге остаток будет равен pn-1, а частное dn=pn.

На каждом шаге деление на x - b0 будем проводить с помощью схемы Горнера. При этом очень удобно результаты вычислений записывать в одну общую таблицу. Рассмотрим соответствующие примеры.

Пример 5. Разложить многочлен 2x4 + x3 - 5x + 3 по степеням двучлена x + 1.

Решение.

Все вычисления проведем, последовательно заполняя таблицу в соответствии с алгоритмом. Разложить многочлен по степеням двучлена

Таким образом, получаем, что остаток от деления исходного многочлена на x+1 равен 9, коэффициенты частного 2,-7,9,-10.

Ответ: 2x4 + x3 - 5x + 3 = 2(x + 1)4 - 7(x + 1)3 + 9(x + 1)2 - 10(x + 1) + 9.

Вычисление значения многочлена в заданной точке с помощью схемы Горнера


Еще одна задача, которую можно решать с помощью схемы Горнера – вычисление значения многочлена в заданной точке. Пусть многочлен a(x) делится на двучлен x - b0 с остатком r0. То есть

Разложить многочлен по степеням двучлена

Если в это равенство подставить значение x=b0, получим a(b0)=r0. Таким образом, мы доказали теорему Безу.

Теорема Безу. Если x0 - произвольное число, то при делении многочлена a(x) на двучлен x-x0 получается остаток, равный значению многочлена при x=x0, то есть r0= a(x0).

Таким образом, с помощью схемы Горнера можно находить значение многочлена при заданном значении x=x0 как остаток от деления этого многочлена на двучлен x-x0. Иногда это сделать гораздо проще, чем подставлять x0 в исходный многочлен.

У теоремы Безу есть очень важное следствие.

Следствие. Число x0 является корнем многочлена a(x) тогда и только тогда, когда многочлен a(x) делится нацело на двучлен x-x0.

Это следствие позволяет проверять, является ли число x0 корнем многочлена, вычисляя остаток от деления многочлена на двучлен x-x0.

Пример 6. Вычислить значение многочлена 2x6 + 6x5 + x4 - 4x3 + 3x2 - x - 1 при x=-3.

Решение.

Вычислить значение многочлена при x=-3 равносильно найти остаток при делении этого многочлена на x+3. Для этого воспользуемся схемой Горнера

Вычислить значение многочлена

Остаток r (это последнее число в третьей строке) равен 218.

(Частное с(x)=2x5 + x3 - 7x2 + 24x - 73;
2x6 + 6x5 + x4 - 4x3 + 3x2 - x - 1=(2x5 + x3 - 7x2 + 24x - 73)*(x+3)+218).

Ответ: 218.

Copyright © 2018 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены