Разложение на множители многочлена третьей степени

Многочлен 3 степени a(x) = a3*x3 + a2*x2 + a1*x + a0, a3 ≠ 0, может иметь самое большее 3 корня. Так как если комплексное число является корнем многочлена, то и комплексно сопряженное тоже будет его корнем, следовательно, у кубического многочлена всегда существует по крайней мере один действительный корень.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Таким образом, кубический многочлен всегда можно разложить на один линейный множитель и один квадратичный

Разложение на множители многочлена третьей степени

В свою очередь многочлен второй степени a3x2 + bx + c может иметь 2 различных действительных корня, 1 действительный корень или 2 комплексно сопряженных корня.

Соответственно, получаем такие случаи разложения на множители:

Разложение на множители многочлена третьей степени

Таким образом, зная один корень многочлена x0, легко получить квадратичное выражение (a3x2 + bx + c) делением исходного многочлена на одночлен x-x0. Приравнивая к нулю полученное выражение и решая квадратное уравнение, найдем остальные корни. А зная все корни многочлена, можно сразу написать его разложение на множители.
Пример 1. Разложить на множители многочлен x3 - 3x2 - 4x + 6.

Решение.

Делители свободного члена: ±1, ±2, ±3, ±6. Значит, корни многочлена нужно искать среди них. Простой подстановкой убеждаемся, что корнем многочлена является число 1. Значит, исходный многочлен надо разделить на x - 1.

Воспользуемся схемой Горнера.

Разложение на множители многочлена третьей степени

Таким образом, x3 - 3x2 - 4x + 6 = (x - 1)(x2 - 2x - 6). Чтобы найти оставшиеся 2 корня многочлена, решаем квадратное уравнение x2 - 2x - 6 = 0.

Разложение на множители многочлена третьей степени

Но обычно в разложении на множители нас не интересуют иррациональные корни (то есть, такое разложение квадратичного многочлена на множители

Разложение на множители многочлена третьей степени

Ответ: x3 - 3x2 - 4x + 6 = (x - 1)(x2 - 2x - 6).

Пример 2. Разложить на множители многочлен -2x3 + 3x2 - 4x - 9.

Решение.

Делители свободного члена: ±1, ±3, ±9. Делители старшего коэффициента: ±1, ±2.
Значит, корни исходного многочлена будем искать среди чисел: ±1, ±3, ±9,
±
1/2
, ±
3/2
, ±
9/2
.

Снова простой подстановкой убеждаемся, что -1 является корнем многочлена. С помощью схемы Горнера делим исходный многочлен на x + 1.

Разложение на множители многочлена третьей степени

Таким образом, -2x3 + 3x2 - 4x - 9 = (x + 1)(-2x2 + 5x - 9). Решая квадратное уравнение -2x2 + 5x - 9 = 0, получаем, что его дискриминант < 0, следовательно, действительных корней у него нет.

Ответ: -2x3 + 3x2 - 4x - 9 = (x + 1)(-2x2 + 5x - 9).

Пример 3. Разложить на множители многочлен 2x3 - x2 - 8x + 4.

Решение.

Простой подстановкой убеждаемся, что 2 является корнем многочлена. С помощью схемы Горнера делим исходный многочлен на x - 2.

Разложение на множители многочлена третьей степени

Таким образом, 2x3 - x2 - 8x + 4 = (x - 2)(2x2 + 3x - 2).
Решая квадратное уравнение 2x2 + 3x - 2 = 0, получаем,

Разложение на множители многочлена третьей степени

Следовательно, 2x2 + 3x - 2 = 2(x - 
1/2
)(x + 2).

Ответ: 2x3 - x2 - 8x + 4 = 2(x - 2)(x - 
1/2
)(x + 2) = (2x - 1)(x - 2)(x + 2).

Разложение на множители многочлена третьей степени методом неопределенных коэффициентов


Еще один способ разложения на множители многочлена третьей степени - метод неопределенных коэффициентов. Он достаточно трудоемкий, но иногда бывает очень полезным, причем для разного рода задач, а не только в случае разложения на множители. Разложение на множители любого многочлена третьей степени можно представить следующим образом a(x) = (x-x0)*(a3x2 + bx + c).

Раскрывая скобки, получим a(x) = a3x3 + x2(b - a3x0) + x*(c - bx0) - cx0.

Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях x и свободные члены в исходном многочлене и в многочлене a(x), получим систему из четырех уравнений и четырех неизвестных a3,b,c и x0. Рассмотрим применение метода неопределенных коэффициентов на примерах.

Пример 4. Разложить на множители многочлен x3 + 2x2 - 5x - 6.

Решение.

Приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем следующую систему уравнений

Разложение на множители многочлена третьей степени

Выразим из первого уравнения x0 = b - 2 и подставим в два оставшихся. Получим

Разложение на множители многочлена третьей степени

Теперь из первого уравнения выразим переменную c и подставим во второе.

Разложение на множители многочлена третьей степени

Раскрывая скобки во втором уравнении и решая его, находим b:

Разложение на множители многочлена третьей степени

Если b=4, то c=3, x0 = 2. Следовательно, x3 + 2x2 - 5x - 6 = (x - 2)(x2 - 4x + 3)=(x - 2)(x + 1)(x + 3).

Если b = 1, то c = -6, x0 = -1. Следовательно, x3 + 2x2 - 5x - 6 = (x + 1)(x2 + x - 6)=(x + 1)(x + 3)(x - 2).

Если b = -1, то c = -2, x0 = -3. Следовательно, x3 + 2x2 - 5x - 6=(x + 3)(x2 - x - 2) = (x + 3)(x - 2)(x + 1).

Ответ: x3 + 2x2 - 5x - 6 = (x - 2)(x + 1)(x + 3).

Copyright © 2018 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены