Общие приемы решения уравнений

Процесс решения уравнения состоит в последовательном переходе от исходного уравнения к цепочке равносильных уравнений более простого вида, чем исходное. Основными методами решения уравнений являются способ замены переменной и способ разложения на множители. Рассмотрим их применение на примерах.

Решение уравнений методом замены переменной

Пример 1. Решить уравнение x8 + 15x4 - 16 = 0.

Решение.

Введем новую переменную t = x4. Тогда исходное уравнение примет вид t2 + 15t - 16 = 0.

Корни полученного квадратного уравнения легко находятся по известным формулам t1 = 1, t2 = -16.

Теперь для найденных значений t, найдем соответствующие значения x.

Если t = 1   <=>   x4 = 1   <=>   x = ±1.

Если t = -16   <=>   x4 = -16, но это уравнение корней не имеет. Итак, корни исходного уравнения ±1.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Пример 2. Решить уравнение (x2 + x - 2)(x2 + x - 3) = 12.

Решение.

Положим x2 + x - 3 = t. Тогда x2 + x - 2 = t+1, и исходное уравнение принимает вид

(t+1)*t = 12   <=>   t2 + t - 12 = 0

Решая полученное квадратное уравнение, находим его корни t1 = -4, t2 = 3. Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений:

Решение уравнений методом замены переменной

Первое уравнение этой совокупности решений не имеет, а корнями второго, а значит, и исходного являются числа x1 = 2, x2 = -3.

Решение уравнений с помощью разложения на множители

Пример 1. Решить уравнение x3 - 2x2 + 3x - 6 = 0.

Решение.

Решение уравнения x^3-2x^2+3x-6=0 методом замены переменной

Последнее уравнение эквивалентно совокупности уравнений: Решение уравнения x^3-2x^2+3x-6=0 методом замены переменной

Итак, корнями исходного уравнения являются числа x1=2, x2=0, x3= -3.

Пример 2. Решить уравнение x4 - x3 + 2x - 4 = 0.

Решение.

Решение уравнения x^4-x^3+2x-4=0 методом замены переменной

Последнее уравнение эквивалентно совокупности уравнений:

Решение уравнения x^4-x^3+2x-4=0 методом замены переменной

Последнее уравнение совокупности корней не имеет, а корни первого, а значит, и исходного уравнения числа Решение уравнения x^4-x^3+2x-4=0.

Copyright © 2018 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены