Решение комбинированных уравнений и неравенств

Метод решения комбинированных уравнений и неравенств, основанный на анализе областей значений их левых и правых частей (10 – 11 класс).

Рассмотрим способ решения нестандартных уравнений и неравенств, при котором сравниваются области значений двух функций, представляющих левую и правую части уравнения или неравенства. Суть метода в том, что область значений одной функции имеет только одну общую точку с областью значений второй функции. Следовательно, исходное уравнение или неравенство имеет решение только в том случае, когда левая и правая части уравнения равны этому значению.

Пример 1.

cos(x) = x2 -2x + 2.

Решение уравнения.

1) Левая часть уравнения f1(x) = cos(x). Область значений функции E(f1) = [-1; 1].
2) Правая часть уравнения f2(x) = x2 -2x + 2 представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты вершины:

координаты вершины параболы

Следовательно, Решение уравнения

3) Решение уравнения возможно только, если

Решение уравнения

Но для любых . Следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.

Пример 2.
решение уравнения

Решение уравнения.

ОДЗ: .
С помощью элементарных преобразований приведем уравнение к виду:

решение уравнения

1) решение уравнения

2) решение уравнения.

3) решение уравнения.

Ответ: x = 0.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Пример 3.

решение комбинированного неравенства.

Решение неравенства.

1)

2) .

3) Следовательно, исходное неравенство эквивалентно системе уравнений

.

Но 2x > 0 для любого значения x. Следовательно, исходное неравенство не имеет решения.

Ответ: корней нет.

Пример 4.

решение комбинированного неравенства.

Решение неравенства.

Проведенный в примере 3 анализ областей значений левой и правой частей позволяет сделать вывод, что неравенство справедливо для любого значения x.

Ответ: x – любое число.

Пример 5.

решение комбинированного неравенства.

Решение неравенства.

Исходное неравенство эквивалентно

решение неравенства.

1) решение неравенства

2) решение неравенства

3) Следовательно, исходное неравенство эквивалентно системе уравнений

решение неравенства.

Во втором уравнении системы при k = -1 x = -8/5. Следовательно, x = -8/5 является решением исходного неравенства.

Ответ: x = -1.6

Copyright © 2018 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены