Формулы Крамера

Решение систем линейных уравнений (формулы Крамера)

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными x1, x2, ..., xn, то есть систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных.

система линейных уравнений

Определителем этой системы называется определитель

Определитель системы линейных уравнений

Заменим в определителе Определитель какой-либо столбец, например, j-ый, столбцом b из свободных членов. Полученный таким образом определитель обозначим определитель, то есть

определитель матрицы системы, в которой j столбец заменен на столбец правых частей уравнений

Тогда, если определитель системы определитель не равен нулю, то эта система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формуле Крамера (правило Крамера):

формула Крамера

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Так как вычисление определителей 4-ого и более высоких порядков довольно громоздкая процедура, то нахождение корней системы линейных уравнений по формулам Крамера целесообразно для систем двух или трех уравнений. Выпишем формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков.

Определитель второго порядка

Определитель второго порядка

Определитель третьего порядка

Определитель третьего порядка

Рассмотрим применение формул Крамера на примерах.

Пример 1. Решить систему

Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Решение.

1. Вычислим определитель этой системы:

определитель системы

Определитель системы равен -9 < 0, следовательно, система совместна и имеет единственное решение.

2. Вычислим определители Определитель и Определитель, которые получаются из определителя Определитель заменой первого и второго столбца, соответственно, на столбец свободных членов:

определитель системы

3. По формулам Крамера вычисляем значения неизвестных:

По формулам Крамера вычисляем значения неизвестных

Ответ: x = 5, y = 1.

Пример 2. Решить систему

Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Решение.

1. Вычислим определитель этой системы:

определитель системы

Определитель системы равен 5 < 0, следовательно, система совместна и имеет единственное решение.

2. Вычислим определители Определитель, Определитель и Определитель, которые получаются из определителя Определитель заменой первого, второго и третьего столбцов, соответственно, на столбец свободных членов:

определители системы

3. По формулам Крамера вычисляем значения неизвестных:

По формулам Крамера вычисляем значения неизвестных

Ответ: x = 3, y = -1, z = 1.

Copyright © 2018 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены