Обобщенная теорема Виета

Если числа x₁, x₂,…,x_n – корни многочлена n-ой степени
a(x)= a_n*xⁿ + a_n-1*x^n-1 + a_n-2*x^n-2 + ... + a₁*x + a₀, a_n ≠0, то справедливы равенства:


Эти равенства называются формулами Виета.

Выпишем их отдельно для многочленов второго, третьего и четвертого порядков.

Формулы Виета для квадратного многочлена

Для квадратного многочлена ax² + bx + c



Формулы Виета для квадратного многочлена позволяют подбирать его целочисленные корни (если они существуют), не решая квадратного уравнения.

Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен x² - 2012x + 2011.

Решение.

Легко видеть, что x = 1 является корнем трехчлена. Убеждаемся в этом простой подстановкой. По формуле Виета

x₁x₂ =  = 2011 <=> 1*x₂ = 2011 <=> x₂ = 2011. Следовательно, x² - 2012x + 2011 = (x - 1)(x - 2011).

Ответ: x² - 2012x + 2011 = (x - 1)(x - 2011).

Пример 2. Разложить на множители квадратный трехчлен 2012x² + 2011x - 1.

Решение.

Простой подстановкой легко проверяется, что x = -1 является корнем квадратного трехчлена. По формуле Виета

x₁x₂ =  <=> -1*x₂ =  <=> x₂ = .

Следовательно, 2012x² + 2011x - 1= 2012(x + 1)(x - ) = (x+1)(2012x-1).

Ответ: 2012x² + 2011x - 1= 2012(x + 1)(x - ) = (x+1)(2012x-1).

Таким образом, очень часто формулы Виета позволяют быстро подобрать целые корни квадратного трехчлена, не проводя громоздких вычислений. Кроме того, по коэффициентам трехчлена можно сделать выводы о знаках корней уравнения. Например, если корни трехчлена существуют, и > 0, то или оба корня положительны, или оба отрицательны.

Пример 3. Определить знаки корней уравнения 5x² - 33x + 10 = 0, не решая его.

Решение.

Дискриминант уравнения D = b² - 4ac = 33² - 4*5*10 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня. По формулам Виета



То есть x₁x₂ > 0, значит оба корня имеют одинаковый знак. Но сумма корней > 0, следовательно, оба корня положительные числа.

Ответ: Уравнение имеет два положительных корня.

Кроме того, формулы Виета позволяют быстро проверить, является ли заданный набор чисел корнями многочлена. В общем, формулы Виета – это очень полезный инструмент в решении самых разных задач с многочленами. Эти формулы для квадратного трехчлена даже изложены в стихах неизвестным автором:

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи постоянства такого:
Умножишь ты корни - и дробь уж готова:
В числителе c, в знаменателе a,
А сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта, что за беда
В числителе b, в знаменателе a.

Выпишем формулы Виета для многочлена третьего и четвертого порядков.

Формулы Виета для многочлена третьего порядка

Если a(x) = a₃*x³ + a₂*x² + a₁*x + a₀, то

Формулы Виета для многочлена четвертого порядка

Если a(x) = a₄*x⁴ + a₃*x³ + a₂*x² + a₁*x + a₀, то