Обобщенная теорема Виета

Если числа x1, x2,…,xn – корни многочлена n-ой степени
a(x)= an*xn + an-1*xn-1 + an-2*xn-2 + ... + a1*x + a0, an ≠0, то справедливы равенства:
Обобщенная теорема Виета

Эти равенства называются формулами Виета.

Выпишем их отдельно для многочленов второго, третьего и четвертого порядков.

Формулы Виета для квадратного многочлена


Для квадратного многочлена ax2 + bx + c

Формулы Виета для квадратного многочлена

Формулы Виета для квадратного многочлена позволяют подбирать его целочисленные корни (если они существуют), не решая квадратного уравнения.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен x2 - 2012x + 2011.

Решение.

Легко видеть, что x = 1 является корнем трехчлена. Убеждаемся в этом простой подстановкой. По формуле Виета

x1x2 = 
c/a
 = 2011 <=> 1*x2 = 2011 <=> x2 = 2011. Следовательно, x2 - 2012x + 2011 = (x - 1)(x - 2011).

Ответ: x2 - 2012x + 2011 = (x - 1)(x - 2011).

Пример 2. Разложить на множители квадратный трехчлен 2012x2 + 2011x - 1.

Решение.

Простой подстановкой легко проверяется, что x = -1 является корнем квадратного трехчлена. По формуле Виета

x1x2 = 
c/a
 = 
-1/2012
<=> -1*x2 = 
-1/2012
<=> x2 = 
1/2012
.

Следовательно, 2012x2 + 2011x - 1= 2012(x + 1)(x - 
1/2012
) = (x+1)(2012x-1).

Ответ: 2012x2 + 2011x - 1= 2012(x + 1)(x - 
1/2012
) = (x+1)(2012x-1).

Таким образом, очень часто формулы Виета позволяют быстро подобрать целые корни квадратного трехчлена, не проводя громоздких вычислений. Кроме того, по коэффициентам трехчлена можно сделать выводы о знаках корней уравнения. Например, если корни трехчлена существуют, и
c/a
> 0, то или оба корня положительны, или оба отрицательны.

Пример 3. Определить знаки корней уравнения 5x2 - 33x + 10 = 0, не решая его.

Решение.

Дискриминант уравнения D = b2 - 4ac = 332 - 4*5*10 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня. По формулам Виета

Формулы Виета для квадратного многочлена

То есть x1x2 > 0, значит оба корня имеют одинаковый знак. Но сумма корней > 0, следовательно, оба корня положительные числа.

Ответ: Уравнение имеет два положительных корня.

Кроме того, формулы Виета позволяют быстро проверить, является ли заданный набор чисел корнями многочлена. В общем, формулы Виета – это очень полезный инструмент в решении самых разных задач с многочленами. Эти формулы для квадратного трехчлена даже изложены в стихах неизвестным автором:

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи постоянства такого:
Умножишь ты корни - и дробь уж готова:
В числителе c, в знаменателе a,
А сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта, что за беда
В числителе b, в знаменателе a.

Выпишем формулы Виета для многочлена третьего и четвертого порядков.

Формулы Виета для многочлена третьего порядка


Если a(x) = a3*x3 + a2*x2 + a1*x + a0, то

Формулы Виета для многочлена третьего порядка

Формулы Виета для многочлена четвертого порядка


Если a(x) = a4*x4 + a3*x3 + a2*x2 + a1*x + a0, то

Формулы Виета для многочлена четвертого порядка

Copyright © 2018 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены