Метод неопределенных коэффициентов

Как разделить многочлен на многочлен методом неопределенных коэффициентов

Для деление многочлена на многочлен, кроме способа деления многочленов "уголком", можно использовать метод неопределенных коэффициентов. Суть этого метода заключается в следующем.

Пусть требуется поделить многочлен

a(x)= anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... +  a1x + a0

на многочлен

b(x)= bmxm + bm-1xm-1 + bm-2xm-2 + ... + b1x + b0,
то есть требуется представить многочлен a(x) в виде a(x)=b(x)* c(x) + r(x),

где многочлен a(x) - делимое, многочлен b(x) - делитель, многочлен с(x) - частное, а многочлен r(x) - остаток.
Степень частного c(x) равна разности степеней делимого и делителя, а степень остатка r(x) меньше степени делителя, следовательно, максимальная степень r(x) может быть равна m-1.

Таким образом, частное c(x) – это многочлен степени n-m с неизвестными коэффициентами сi

c(x)= cn-mxn-m + cn-m-1xn-m-1 + cn-m-2xn-m-2 + ... + c1x + c0,

а остаток r(x) - многочлен степени m-1 с неизвестными коэффициентами rj

r(x)= rm-1xm-1 + rm-2xm-2 + rm-3xm-3 + ... + r1x + r0.

Чтобы найти неизвестные коэффициенты сi и rj, просто перемножим b(x)* c(x), сложим с r(x) и приравняем коэффициенты многочленов при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства a(x)=b(x)* c(x) + r(x).

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие использование метода неопределенных коэффициентов при делении многочлена на многочлен. Пример 1. Разделить многочлен 5x4 - 3x3 + 2x2 - x + 3 на многочлен x3 - 2x2 + 1 методом неопределенных коэффициентов.

Решение.

Делимое a(x)=5x4 - 3x3 + 2x2 - x + 3 - многочлен степени 4,

делитель b(x)= x3 - 2x2 + 1 - многочлен степени 3.

Следовательно, частное c(x) - многочлен степени 4-3 = 1

c(x) = c1x + c0,

а остаток r(x) - многочлен степени 3-1=2

r(x) = r2x2 + r1x + r0.

Перемножая и складывая многочлены в выражении b(x)*c(x) + r(x), получаем
(x3-2x2 + 1)*(c1x + c0) + r2x2 + r1x + r0 = c1*x4 + x3*(c0 - 2c1) + x2*(r2 - 2c0) + x*(c1 + r1 ) + c0 + r0.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x в равенстве

a(x)=b(x)* c(x) + r(x),

получим систему уравнений для нахождения неизвестных c0, c1, r0, r1, r2.

c1=5,
c0 - 2c1=-3,
r2 - 2c0=2,
c1 + r1=-1,
c0 + r0=3

Последовательно решая уравнения с помощью подстановки известных значений сi, rj, найдем решение системы

c1=5,
c0=7,
r2=16,
r1=-6,
r0=-4.

Следовательно, c(x) = 5x + 7; r(x)=16x2 - 6x - 4.

Ответ: 5x4 - 3x3 + 2x2 - x + 3 = (x3 - 2x2 + 1)*(5x + 7) +  16x2 - 6x - 4.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Пример 2. Разделить многочлен 6x5 - 11x4 + 10x3 - 10x2 + 3x - 2 на многочлен 2x3 - 3x2 + x - 1 методом неопределенных коэффициентов.

Решение.

Делимое a(x) = 6x5 - 11x4 + 10x3 - 10x2 + 3x - 2 - многочлен степени 5,

делитель b(x)= 2x3 - 3x2 + x - 1 - многочлен степени 3.

Следовательно, частное c(x) - многочлен степени 5-3 = 2

c(x) = c2x2 + c1x + c0,

а остаток r(x) - многочлен степени 3-1=2

r(x) = r2x2 + r1x + r0.

Перемножая и складывая многочлены в выражении b(x)*c(x) + r(x), получаем

(2x3 - 3x2 + x - 1)*(c2x2 + c1x + c0) + r2x2 + r1x + r0 =
= 2c2x5 - x4(2c1 - 3c2) + x3(c2 - 3c1 + 2c0) + x2(c1 - c2 - 3c0 + r2) + x(c0 - c1 + r1) + r0 - c0.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в равенстве a(x)=b(x)* c(x) + r(x),

получим систему уравнений для нахождения неизвестных c0, c1, c2, r0, r1, r2

2c2=6,
2c1 - 3c2 = -11,
2c0 - 3c1 + c2=10,
r2 - 3c0 + c1 - c2=-10,
c0 - c1 + r1=3,
r0 - c0=-2

Последовательно решая уравнения с помощью подстановки известных значений сi, rj, найдем решение системы
c2=3,
c1=-1,
c0=2,
r2=0,
r1=0,
r0=0.

Следовательно, c(x)=3x2 - x + 2; r(x)=0.

Ответ: 6x5 - 11x4 + 10x3 - 10x2 + 3x - 2 = (2x3 - 3x2 + x - 1)*(3x2 - x + 2).

Copyright © 2018 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены