Теорема Виета для решения квадратных уравнений

Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, если они существуют.
ТЕОРЕМА. Если x1, x2 - корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, то сумма корней равна
-
b/a
, а произведение корней равно
c/a
:

Теорема Виета для решения квадратных уравнений

Для приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 теорему Виета можно сформулировать совсем просто: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену

x1 + x2 = - p,
x1 * x2 = q.

Доказательство этой теоремы следует непосредственно из формул для корней квадратного уравнения.

Справедлива и обратная теорема. Если числа x1, x2 таковы, что

x1 + x2 = - p,
x1 * x2 = q,

то эти числа – корни квадратного уравнения x2 + px + q = 0.

С помощью этой теоремы можно легко решать многие квадратные уравнения, не пользуясь громоздкими формулами для его корней. Кроме того, очень часто одним из корней уравнения является число x1 = 1 или x1 = -1, что легко проверяется простой подстановкой. Тогда второй корень можно быстро найти из равенства x1* x2 =
c/a
, то есть x2 = 
c/a
или x2 = -
c/a
. Теорему Виета можно также использовать для проверки найденных корней квадратного уравнения. Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Примеры решения квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

Пример 1. Решить уравнение x2 + 5x + 6 = 0.

Решение.
По теореме, обратной теореме Виета

x1 + x2 = - 5,
x1 * x2 = 6.

Число 6 = 2*3 = 1*6, следовательно, легко подобрать решение этой системы x1 = -2, x2 = -3.

Ответ: -2, -3.

Пример 2. Решить уравнение x2 - 12x + 11 = 0.

Решение.
Очевидно, x1 = 1 - является корнем квадратного уравнения. Но x1* x2 = 11, значит, второй корень равен 11.

Ответ: 1, 11.

Пример 3. Решить уравнение 2013x2 - 2012x - 1 = 0.

Решение.
Очевидно, x1 = 1 - является корнем квадратного уравнения. Убеждаемся в этом прямой подстановкой в исходное уравнение. Но x1* x2 =
-
1/2013
, значит, второй корень равен
-
1/2013
. Решение исходного уравнения по формулам нахождения корней квадратного уравнения было бы гораздо сложнее с вычислительной точки зрения.

Ответ: 1,
-
1/2013
.

Пример 4. Решить уравнение 5699x2 + 5691x - 8 = 0.

Решение.
Очевидно, x1 = -1 - является корнем квадратного уравнения. Убеждаемся в этом прямой подстановкой в исходное уравнение. Но x1* x2 =
-
8/5699
, значит, второй корень равен
8/5699
.

Ответ: -1,
8/5699
.

Copyright © 2018 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены