Решение полных квадратных уравнений

Чтобы получить формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения, преобразуем его:

Решение полных квадратных уравнений

Выражение b2 - 4ac обычно обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного трехчлена ax2 + bx + с = 0.

С учетом этого обозначения продолжим решение квадратного уравнения

Решение полных квадратных уравнений

Последнее уравнение, а значит, и исходное может иметь два корня, один корень или вообще не иметь корней в зависимости от знака дискриминанта D:

1. Если D = b2 - 4ac < 0 , то квадратное уравнение ax2 + bx + с = 0 не имеет действительных корней.

2. Если D = b2 - 4ac = 0, то квадратное уравнение ax2 + bx + с = 0 имеет единственный действительный корень x =
-
b/2a
:

корнь квадратного уравнения, если дискриминанта равен нулю

3. Если D = b2 - 4ac > 0, то квадратное уравнение ax2 + bx + с = 0 имеет два действительных корня, которые вычисляются по формулам

корнь квадратного уравнения, если дискриминанта больше нуля

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Покажем, как вывести эти формулы:

вывод формул для нахождения корней квадратного уравнения

Последнюю формулу можно существенно упростить в случае, если b делится на 2, то есть b = 2k. Тогда формула для корней квадратного уравнения будет иметь вид

корни квадратного уравнения если b четное,
где k =
b/2
.

Полученную формулу для корней квадратного уравнения в случае четного коэффициента b можно переписать и без использования буквы k:

корни квадратного уравнения или корни квадратного уравнения, где D1 = (
b/2
)2 - ac.

Очевидно, полученные формулы для корней полных квадратных уравнений можно использовать и для решения неполных уравнений, хотя проще использовать способы решения неполных квадратных уравнений.

Пример 1. Решить квадратное уравнение 4x2 -28x + 49 = 0.

Решение.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 4, b = -28, c = 49.

Так как b = -28 - четное число, то вычислим дискриминант D1 :

D1 = (
b/2
)2 - ac = (-14)2 - 4*49 = 196 - 196 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень
x =
b/2
/2
=
14/4
=
7/2
.

Это уравнение также можно решить без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:

4x2 -28x + 49 = 0 <=> (2x - 7)2 = 0 <=> 2x = 7 <=> x =
7/2
.

Ответ:
7/2
.

Пример 2. Решить уравнение Решение квадратного уравнения (x^2-x)/6-(x^2+x)/3 =0.

Решение.

Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:

Решение квадратного уравнения (x^2-x)/6-(x^2+x)/3 =0

Умножив обе части уравнения на -6, получим x2 + 3x = 0. Это неполное квадратное уравнение решим способом разложения на множители:

Решение квадратного уравнения (x^2-x)/6-(x^2+x)/3 =0.

Ответ: -3,0.

Пример 3. Решить уравнение Решение квадратного уравнения 2x^2+x)/5=(4x-2)/3.

Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть и правую части уравнения:

Решение квадратного уравнения 2x^2+x)/5=(4x-2)/3.

Умножив обе части уравнения на 15, получим:

6x2 + 3x = 20x-10 <=> 6x2 + 3x - 20x + 10 = 0 <=> 6x2 - 17x + 10 = 0.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 6, b = -17, c = 10,
D = b2 - 4ac = (-17)2 - 4*6*10 = 289 - 240 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решение квадратного уравнения 2x^2+x)/5=(4x-2)/3

Ответ:
5/6
, 2.

Пример 4. Решить уравнение Решение квадратного уравнения x^2+2√2x+1=0.

Решение.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 2√2, c = 1.

Так как b = 2√2, то есть b делится на 2 (
b/2
= √2), вычислим дискриминант D1:

D1 = (
b/2
)2 - ac = (√2)2 - 1*1 = 1 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решение квадратного уравнения x^2+2√2x+1=0

Ответ: -√2-1, -√2+1.

Пример 5. Решить уравнение Решение квадратного уравнения 1/2x^2-x+1/3=0.

Решение.

Умножим левую и правую части уравнения на 6:

Решение квадратного уравнения 1/2x^2-x+1/3=0

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена. У нас a = 3, b = -6, c = 2.

Так как b = -6, то есть b делится на 2 (
b/2
= 3), вычислим дискриминант D1:

D1 = (b/2)2 - ac = 32 - 3*2 = 3 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решение квадратного уравнения 1/2x^2-x+1/3=0

Ответ: Решение квадратного уравнения 1/2x^2-x+1/3=0

Copyright © 2018 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены