Решение кубических уравнений методом разложения на множители

Таким образом, кубический многочлен a(x) всегда можно разложить на два множителя, один из которых линейный, а второй квадратичный



В свою очередь многочлен второй степени a₃x² + bx + c может иметь 2 различных действительных корня, 1 действительный корень или 2 комплексно сопряженных корня.

Соответственно, получаем такие случаи разложения на множители a(x):



Таким образом, приравнивая каждый множитель в разложении к нулю, найдем все корни кубического уравнения в каждом случае. Рассмотрим решение кубических уравнений методом разложения на множители на примерах.

Пример 1. Решить уравнение x³ - 3x² - 4x + 6 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±3, ±6. Значит, корни уравнения нужно искать среди них. Простой подстановкой убеждаемся, что корнем уравнения является число 1. Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x - 1)*(a₃x² + bx + c) = 0.

Чтобы найти многочлен a₃x² + bx + c, нужно левую часть исходного уравнения разделить на x - 1. Для деления многочлена на двучлен будем использовать схему Горнера.



Таким образом, x³ - 3x² - 4x + 6 = (x - 1)(x² - 2x - 6). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x - 1) (x² - 2x - 6) = 0.

Осталось решить квадратное уравнение x² - 2x - 6 = 0.



Ответ: -1- √7, 1 ,-1+√7.

Пример 2. Решить уравнение -2x³ + 3x² - 4x - 9 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±3, ±9. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.

Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±3, ±9, .

Снова простой подстановкой убеждаемся, что -1 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x + 1.



Таким образом, -2x³ + 3x² - 4x - 9 = (x + 1)(-2x² + 5x - 9). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x + 1) (-2x² + 5x - 9)=0. Решая квадратное уравнение -2x² + 5x - 9 = 0, получаем, что его дискриминант < 0, следовательно, действительных корней у него нет.

Ответ: -1.

Пример 3. Решить уравнение 2x³ - x² - 8x + 4 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±4. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.

Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±2, ±4.

Простой подстановкой убеждаемся, что 2 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x - 2.



Таким образом, 2x³ - x² - 8x + 4 = (x - 2)(2x² + 3x - 2). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x - 2) (2x² + 3x - 2) = 0. Решая квадратное уравнение 2x² + 3x - 2 = 0, получаем,



Ответ: -2, , 2.

Еще один способ разложения на множители многочлена третьей степени - метод неопределенных коэффициентов. Он довольно громоздкий, но иногда бывает очень полезным при решении разного рода задач, а не только в случае разложения на множители. Разложение на множители любого многочлена третьей степени можно представить следующим образом a(x) = (x-x₀)*(a₃x² + bx + c).

Раскрывая скобки, получим a(x) = a₃x³ + x²(b - a₃x₀) + x*(c - bx₀) - cx₀.

Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях x и свободные члены в исходном многочлене и в многочлене a(x), получим систему из четырех уравнений и четырех неизвестных a₃,b,c и x₀. Рассмотрим применение метода неопределенных коэффициентов на примерах.

Пример 4. Решить уравнение x³ + 2x² - 5x - 6 = 0.

Решение.

Так как любой многочлен 3 степени можно представить в виде a₃x³ + x²(b - a₃x₀) + x*(c - bx₀) - cx₀, то приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:



Выразим из первого уравнения x₀ = b - 2 и подставим в два оставшихся. Получим



Теперь выразим переменную c из первого уравнения и подставим во второе.



Раскрывая скобки во втором уравнении и решая его, находим b:



Если b=4, то c=3, x₀ = 2. Следовательно, x³ + 2x² - 5x - 6 = (x - 2)(x² - 4x + 3)=(x - 2)(x + 1)(x + 3).

Если b = 1, то c = -6, x₀ = -1. Следовательно, x³ + 2x² - 5x - 6 = (x + 1)(x² + x - 6)=(x + 1)(x + 3)(x - 2).

Если b = -1, то c = -2, x₀ = -3. Следовательно, x³ + 2x² - 5x - 6=(x + 3)(x² - x - 2) = (x + 3)(x - 2)(x + 1).

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно уравнению (x + 3)(x - 2)(x + 1) = 0.

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -3, x = 2, x = -1.

Ответ: -3, -1, 2.

Пример 5. Решить уравнение 2x³ + x² - 5x + 2 = 0.

Решение.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:



Выразим из первого уравнения x₀ =  и подставим в два оставшихся. Получим



Теперь из первого уравнения выразим переменную c и подставим во второе.



Умножая левую и правую части второго уравнения на 4 и раскрывая скобки, находим b:



Если b=2, то c=-4, x₀ = . Следовательно, 2x³ + x² - 5x + 2 = (x - )(2x² + 2x - 4) = 2(x - )(x - 1)(x + 2).

Если b = 3, то c = -2, x₀ = 1. Следовательно, 2x³ + x² - 5x + 2 = (x - 1)(2x² + 3x - 2)=2(x - 1)(x - )(x + 2).

Если b = -3, то c = 1, x₀ = -2. Следовательно, 2x³ + x² - 5x + 2 = (x + 2)(2x² - 3x + 1) = 2(x + 2)(x - )(x - 1).

Следовательно, исходное уравнение эквивалентно уравнению 2(x + 2)(x - )(x - 1) = 0.

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -2, x = , x = 1.

Ответ: -2, , 1.