Решение кубических уравнений методом разложения на множители

Уравнение 3 степени a(x) = a3*x3 + a2*x2 + a1*x + a0, a3 ≠ 0, может иметь самое большее 3 корня. Кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере один действительный корень, так как если корнем является комплексное число, то и комплексно сопряженное тоже будет его корнем.
Таким образом, кубический многочлен a(x) всегда можно разложить на два множителя, один из которых линейный, а второй квадратичный

Разложение на множители многочлена третьей степени

В свою очередь многочлен второй степени a3x2 + bx + c может иметь 2 различных действительных корня, 1 действительный корень или 2 комплексно сопряженных корня.

Соответственно, получаем такие случаи разложения на множители a(x):

Разложение на множители многочлена третьей степени

Таким образом, приравнивая каждый множитель в разложении к нулю, найдем все корни кубического уравнения в каждом случае. Рассмотрим решение кубических уравнений методом разложения на множители на примерах.

Пример 1. Решить уравнение x3 - 3x2 - 4x + 6 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±3, ±6. Значит, корни уравнения нужно искать среди них. Простой подстановкой убеждаемся, что корнем уравнения является число 1. Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x - 1)*(a3x2 + bx + c) = 0.

Чтобы найти многочлен a3x2 + bx + c, нужно левую часть исходного уравнения разделить на x - 1. Для деления многочлена на двучлен будем использовать схему Горнера.

Решение кубических уравнений методом разложения на множители - схема Горнера

Таким образом, x3 - 3x2 - 4x + 6 = (x - 1)(x2 - 2x - 6). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x - 1) (x2 - 2x - 6) = 0.

Осталось решить квадратное уравнение x2 - 2x - 6 = 0.

Решение кубического уравнения методом разложения на множители

Ответ: -1- √7, 1 ,-1+√7.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Пример 2. Решить уравнение -2x3 + 3x2 - 4x - 9 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±3, ±9. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.

Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±3, ±9,
±
1/2
, ±
3/2
, ±
9/2
.

Снова простой подстановкой убеждаемся, что -1 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x + 1.

Решение кубических уравнений методом разложения на множители - схема Горнера

Таким образом, -2x3 + 3x2 - 4x - 9 = (x + 1)(-2x2 + 5x - 9). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x + 1) (-2x2 + 5x - 9)=0. Решая квадратное уравнение -2x2 + 5x - 9 = 0, получаем, что его дискриминант < 0, следовательно, действительных корней у него нет.

Ответ: -1.

Пример 3. Решить уравнение 2x3 - x2 - 8x + 4 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±4. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.

Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±2, ±4.

Простой подстановкой убеждаемся, что 2 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x - 2.

Решение кубических уравнений методом разложения на множители - схема Горнера

Таким образом, 2x3 - x2 - 8x + 4 = (x - 2)(2x2 + 3x - 2). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x - 2) (2x2 + 3x - 2) = 0. Решая квадратное уравнение 2x2 + 3x - 2 = 0, получаем,

Решение квадратного уравнения

Ответ: -2,
1/2
, 2.

Еще один способ разложения на множители многочлена третьей степени - метод неопределенных коэффициентов. Он довольно громоздкий, но иногда бывает очень полезным при решении разного рода задач, а не только в случае разложения на множители. Разложение на множители любого многочлена третьей степени можно представить следующим образом a(x) = (x-x0)*(a3x2 + bx + c).

Раскрывая скобки, получим a(x) = a3x3 + x2(b - a3x0) + x*(c - bx0) - cx0.

Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях x и свободные члены в исходном многочлене и в многочлене a(x), получим систему из четырех уравнений и четырех неизвестных a3,b,c и x0. Рассмотрим применение метода неопределенных коэффициентов на примерах.

Пример 4. Решить уравнение x3 + 2x2 - 5x - 6 = 0.

Решение.

Так как любой многочлен 3 степени можно представить в виде a3x3 + x2(b - a3x0) + x*(c - bx0) - cx0, то приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:

Разложение на множители многочлена третьей степени - метод неопределенных коэффициентов

Выразим из первого уравнения x0 = b - 2 и подставим в два оставшихся. Получим

Разложение на множители многочлена третьей степени - метод неопределенных коэффициентов

Теперь выразим переменную c из первого уравнения и подставим во второе.

Разложение на множители многочлена третьей степени - метод неопределенных коэффициентов

Раскрывая скобки во втором уравнении и решая его, находим b:

Разложение на множители многочлена третьей степени

Если b=4, то c=3, x0 = 2. Следовательно, x3 + 2x2 - 5x - 6 = (x - 2)(x2 - 4x + 3)=(x - 2)(x + 1)(x + 3).

Если b = 1, то c = -6, x0 = -1. Следовательно, x3 + 2x2 - 5x - 6 = (x + 1)(x2 + x - 6)=(x + 1)(x + 3)(x - 2).

Если b = -1, то c = -2, x0 = -3. Следовательно, x3 + 2x2 - 5x - 6=(x + 3)(x2 - x - 2) = (x + 3)(x - 2)(x + 1).

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно уравнению (x + 3)(x - 2)(x + 1) = 0.

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -3, x = 2, x = -1.

Ответ: -3, -1, 2.

Пример 5. Решить уравнение 2x3 + x2 - 5x + 2 = 0.

Решение.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:

Разложение на множители многочлена третьей степени - метод неопределенных коэффициентов

Выразим из первого уравнения x0 = 
(b - 1)/2
и подставим в два оставшихся. Получим

Разложение на множители многочлена третьей степени

Теперь из первого уравнения выразим переменную c и подставим во второе.

Разложение на множители многочлена третьей степени - метод неопределенных коэффициентов

Умножая левую и правую части второго уравнения на 4 и раскрывая скобки, находим b:

Разложение на множители многочлена третьей степени

Если b=2, то c=-4, x0 = 
1/2
. Следовательно, 2x3 + x2 - 5x + 2 = (x - 
1/2
)(2x2 + 2x - 4) = 2(x - 
1/2
)(x - 1)(x + 2).

Если b = 3, то c = -2, x0 = 1. Следовательно, 2x3 + x2 - 5x + 2 = (x - 1)(2x2 + 3x - 2)=2(x - 1)(x - 
1/2
)(x + 2).

Если b = -3, то c = 1, x0 = -2. Следовательно, 2x3 + x2 - 5x + 2 = (x + 2)(2x2 - 3x + 1) = 2(x + 2)(x - 
1/2
)(x - 1).

Следовательно, исходное уравнение эквивалентно уравнению 2(x + 2)(x - 
1/2
)(x - 1) = 0.

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -2, x = 
1/2
, x = 1.

Ответ: -2,
1/2
, 1.

Copyright © 2018 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены