Решение биквадратных уравнений

Значения корней квадратного уравнения мы уже умеем находить. По известным значениям t, решая уравнения x² = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения.

Если t < 0, то уравнение x² = t корней не имеет.

Если , то .

Таким образом, решение биквадратного уравнения сводится к решению нескольких квадратных уравнений.

Пример 1. Решить уравнение x⁴ - 17x² + 16 = 0.

Решение.

Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x² => x⁴ = t², перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x⁴ - 17x² + 16 = 0 <=> t² - 17t + 16 = 0

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 1, b = -17, c = 16,

D = b² - 4ac = (-17)² - 4*1*16 = 289-64 = 225 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.



По найденным значениям t, решая уравнения x² = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:



Таким образом, исходное уравнение имеет 4 действительных корня.

Ответ: ±1, ±4.

Пример 2. Решить уравнение 9x⁴ + 32x² - 16 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x² => x⁴ = t², перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

9x⁴ + 32x² - 16 = 0 <=> 9t² + 32t - 16 = 0

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 9, b = 32, c = -16.

Так как b = 32, то есть b делится на 2 ( = 16), вычислим дискриминант D₁:

. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.



По найденным значениям t, решая уравнения x² = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:



Первое уравнение x² = -4 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x = .

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение x⁴ + 3x² - 10 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x² => x⁴ = t², перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x⁴ + 3x² - 10 = 0 <=> t² + 3t - 10 = 0

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена: a = 1, b = 3, c = -10,

D = b² - 4ac = 3² - 4*1*(-10) = 9+40 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.



По найденным значениям t, решая уравнения x² = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:



Первое уравнение x² = -5 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня .

Ответ: .