Решение биквадратных уравнений

Уравнение вида ax4 + bx2 + с = 0, где a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0, называется биквадратным.

Для его решения нужно использовать способ замены переменной. Введем новую переменную t = x2. Тогда x4 = t2 и исходное уравнение будет равносильно квадратному уравнению: at2 + bt + с = 0.
Значения корней квадратного уравнения мы уже умеем находить. По известным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения.

Если t < 0, то уравнение x2 = t корней не имеет.

Если Нахождение корней биквадратного уравнение, то Нахождение корней биквадратного уравнение.

Таким образом, решение биквадратного уравнения сводится к решению нескольких квадратных уравнений.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Пример 1. Решить уравнение x4 - 17x2 + 16 = 0.

Решение.

Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x4 - 17x2 + 16 = 0 <=> t2 - 17t + 16 = 0

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 1, b = -17, c = 16,

D = b2 - 4ac = (-17)2 - 4*1*16 = 289-64 = 225 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решить биквадратное уравнение x^4-17x^2+16=0

По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Решение биквадратного уравнения x^4-17x^2+16=0

Таким образом, исходное уравнение имеет 4 действительных корня.

Ответ: ±1, ±4.

Пример 2. Решить уравнение 9x4 + 32x2 - 16 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

9x4 + 32x2 - 16 = 0 <=> 9t2 + 32t - 16 = 0

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 9, b = 32, c = -16.

Так как b = 32, то есть b делится на 2 (
b/2
= 16), вычислим дискриминант D1:

дискриминант квадратного трехчлена. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решить биквадратное уравнение 9x^4+32x^2-16=0

По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Решить биквадратное уравнение 9x^4+32x^2-16=0

Первое уравнение x2 = -4 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x =
±
2/3
.

Ответ:
±
2/3
.

Пример 3. Решить уравнение x4 + 3x2 - 10 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x4 + 3x2 - 10 = 0 <=> t2 + 3t - 10 = 0

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена: a = 1, b = 3, c = -10,

D = b2 - 4ac = 32 - 4*1*(-10) = 9+40 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решить биквадратное уравнение x^4+3x^2-10=0

По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Решить биквадратное уравнение x^4+3x^2-10=0

Первое уравнение x2 = -5 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня Решить биквадратное уравнение x^4+3x^2-10=0.

Ответ: Решить биквадратное уравнение x^4+3x^2-10=0.

Copyright © 2018 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены